Yazan : Şadi Evren ŞEKER

İki sayının ortak bölenlerinin en büyüğü ile kastedilen iki sayı çarpanlarına ayrıldığında ortak çarpanlarının en büyüğüdür. Örneğin 27 ve 18 sayılarının en büyük ortak bölenleri 9 dur çünkü 9 iki sayıyı da böler, ve iki sayıyı da bölen daha büyük ortak bir sayı yoktur.

iki sayının ortak böleninin en büyüğünün 1 olması demek, iki sayının aralarında asal olması demektir. Aşağıda ortak bölenler ile ilgili iki problemin ıspatı bulunmaktadır:

 1    gcd(m,n)=1  =>  gcd(m+n,m-n)=1

 1.       Sorunun cevabı:

K gibi bir sayımız olsun öyle ki k=gcd(m+n,m-n) olsun.

Dolayısıyla m+n = k*p ve m-n=k*q denilebilir (şayet ortak bölen k ise her iki sayıda p ve q gibi iki farklı sayının çarpımı olacaktır (p ve q aynı olabileceği gibi 1 de olabilir).

Şayet k sayısı çift sayı ise k*p ve k*q sayıları da çifttir. Bu ise imkansızdır çünkü sorunun ilk kısmında gcd(m,n)=1 verilmiş

Şayet k sayısı tek syaı ise o halde p ve q ‘nun da tek olması gerekir çünkü birisi çift olursa sonuçta çift olacaktır bu da ilk şart ile çelişir.

Şayet p ve q tek sayılar ise p –q çift sayı demektir. Öyleyse r=(p-q)/2 gibi bir tam sayı tanımlanabiilr

(m+n) – (m-n) = k*p – k*q
2n = k*(p-q)
n = k*(p-q) / 2
n = k*r
dolayısıyla k, n’in bir çarpanıdır:

(m+n) = k*p
m + k*r = k*p
m = k*p – k*r
m = k*(p-r)

Dolayısıyla k aynı zamanda m’in de bir çarpanıdır denilebilir

Dolayısıyla gcd(m,n) değeri en az k olmalıdır.

Buradaki k değerinin k>1 olması gerekir denilirse bu k=1 değeri ile çelişir. Aksi durum ise zaten ilk eşitliğin ıspatı olmuş olur.

 2  gcd(fn,fn+1)=1

 .       bu ardışık iki sayının ortak böleninin 1 olduğunu söyler. Basitçe şu şekilde düşünülebilir

P gibi bir tam sayı alalım. Bu sayının katları p değeri kadar artar. Örneğin 2’nin katları 2 4 6 8 gibi 3’ün katları ise 3 6 9 gibi artacaktır. Dolayısıyla pm ile p(m+1) arasındaki fark en az p kadar olaiblir. Ve ancak bu durumda gcd(pm, p(m+1))=p olabilir. Oysaki ardışık sayıların farkı 1 ‘dir dolayısıyla iki ardışık sayının gcd değeri 1 olabilir. Daha resmi olarak:

P ve q gibi iki sayı olsun.

gcd(p,q) = x ise |p-q| = xk olmalıdır.

|Fn-fn+1| =1 olduğuna göre gcd (fn,fn+1) =1 olmalıdır.

Dolayısıyla hem tek hem de çift için ıspatlanan durum (başka bir durum olamayacağına göre) doğrudur.

183 views