Küme Teorisi (Set Theory)

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bilgisayar bilimleri de dahil olmak üzere pekçok bilim ve mühendisliğin kullandığı kümeler teorisinde göre bir küme basitçe boş veya belirli sayıda elamanı bulunan grubun ismidir. Buna göre bir kümenin elemanları bulunabilir ve ayrıca kümelere kolaylık olması için isimler verilebilir.

Küme teorisine göre bir eleman bir kümede bir kere bulunabilir yani aynı elemandan iki tane bulunan küme olamaz. Ayrıca küme teorisinde elemanların sırasının önemi yoktur.

Boş küme hiç elemanı olmayan küme demektir ve Ø sembolü ile gösterilir.

Evrensel küme bütün kümeleri kapsayan ve bir kümenin sahip olabileceği en büyük sınırdır (buradan anlaşılacağı üzere sınırsız küme yoktur) ve U harfi ile gösterilir (ingilizcedeki Universal kelimesinin baş harfi ile)

Kümeler üzerindeki işlemler

Kümler üzerinde küme teorisi kapsamında çeşitli işlemler yapılabilir. Bu işlemler aşağıda sıralanmıştır ve her durum için birer örnek verilmiştir. Örnekler için aşağıdaki kümeleri esas alınız:

A= { 1,2,a,b }

B= { 2,a,c,4 }

Kesişme işlemi (intersection) iki kümenin ortak elemanlarını kapsayan kümenini elde edilmesidir ve ∩ sembolü ile gösterilir. Örneğin A ∩ B işlemi sonucunda A ve B’de bulunan ortak elemanlar alınır.

A ∩ B = { 2,a }

Birleşme işlemi (Union) iki kümenin bütün elemanlarını içeren bir kümenin elde edilmesidir ve ∪ sembolü ile gösterilir. Örneğin A ∪ B işlemi sonucunda A ve B’de bulunan bütün elemanlar alınır. Küme teorisine göre bir kümede bir elemandan bir tane bulunabileceği için ortak elemanlar birer kere tekrarlanır.

A ∪ B = { 1,2,4,a,b,c }

Tümleyen işlemi (Complement) bir kümenin kendisi dışında kalan kısmıdır. Yani evrensel kümeden bir küme çıkarıldığında elde edilen kümeye o kümenin tümleyeni denir. Kümenin üzerine çizgi konularak gösterilir. A) gibi.

Küme teorisindeki kurallar

Vahdet kuralı (Hüveiyet Kaidesi, Birlik kuralı, Identity law): Basitçe bir kümenin varılığını ve birliğini belirleyen kuraldır. Buna göre bir kümenin var olması yok olmaması ve kainatta bir yer kaplaması ile mümkündür. Dolayısıyla boş küme ile birleştiğinde değişmeden kendisi geri çıkıyorsa (yok değilse) ve evrensel küme ile de kesiştiğinde değişmeden kendisi geri çıkıyorsa (kainatta yer kaplıyorsa) bu kümenin vahdetinden bahsedilebilir.

A ∩ U = A

A ∪ Ø = A

şartlarını sağlamalıdır.

Kibriyet kuralı (Tahakküm Kaidesi, Domination law): Bu kurala göre evrensel küme bütün kümeler üzerine birleşme yönünden (union) mütekabirdir. Yani bir küme evrensek küme ile birleşirse varlığını yitirir ve birleşme işlemi sonucunda evrensel küme çıkar. Benzer şekilde boş küme de kesişim yönünden mütekabirdir ve bir kümenin boş küme ile kesişimi yine boş küme verir.

A ∪ U = U

A ∩ Ø = Ø (Mahrumiyet Kaidesi, Exclusion law)

Tekrar kuralı (Denk Güçlülük Kaidesi , Idempotent law): Bu kural bilgisayar bilimlerinde ve matematikte kullanılan bir işlemin (operator) tekrarlanması durumunda sonucun değişmediğini anlatan kuraldır. Basitçe kesişim ve birleşim işlemlerinin bir küme üzerinde tekrarlanması durumunda kümenin kendisi geri elde edilir.

A ∪ A = A olur ayrıca A ∪ A ∪ A∪ A∪ A∪ A∪ A = A şeklinde istenildiği kadar işlem tekrarlanabilir sonuç değişmez.

A ∩ A = A için de sonuç aynıdır. A ∩ A ∩ A ∩ A∩ A∩ A∩ A∩ A = A şeklinde işlem istenildiği kadar tekrar edilebilir sonuç değişmez.

Tamamlama kuralı (Mütemmim Kaidesi, Complement Law, Tümleme kuralı): Bir kümenin kendisi dışında geri kalanlardan geri kalan yine kendisidir. Daha basitçe bir kümenin tümleyeni alındığında evrensel kümeden geri kalanlar alınmı olunur. Bu geri kalanların tümleyeni alındığında da orjinal küme geri elde edilir.

(A) = A

Yer değiştirme özelliği (Commutative Law): Kesişme ve birleşme işlemlerinin yer değiştirme özelliği bulunur.

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Birleşme Özelliği (İttihâd Özelliği, Associative Law): Aynı nitelikteki işlemlerin önceliklerinin değişmesi durumudur. İşlem önceliği (operator precedence) aşağıdaki şekilde parantezlerle belirlenmiştir. Buna göre parantez yapısı değişince sonuç değişmez. Benzer durum işlemin soldan sağa veya sağdan sola çalışması durumunda da değişmez.

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Dağılma özelliği (Distributive law): Bir işlemin diğer bir işlem üzerine dağılması özelliğidir. Örneğin kesişimin birleşim veya birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği bulunur.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Alt küme ve üst küme kavramları

Bir kümenin bütün elemanlarının diğer bir kümenin elemanlarına birebir eşit olması durumunda bu iki küme için eşit yorumu yapılabilir.

Eşitlik durumunda şayet kümelerden birisi örneğin A kümesi, diğer kümeden örneğin B kümesi ilave olarak ve eşitliği bozarak fazla elemana sahipse bu durumda A kümesi B kümesinin üst kümesidir (Super set) ve B kümesi de A kümesinin alt kümesidir (subset).

Diğer bir ifadeyle A kümesi B kümesinin bütün elemanlarını içeriyor ve ilave olarak elemanlar da içeriyorsa bu durumda A kümesi B kümesinin üst kümesi olur ve A kümesi B kümesini kapsar denilebilir. B ⊂ A veya A ⊃ B sembolleri ile gösterilebilir.

Şayet A ⊃ B durumu söz konusuysa A’nın eleman sayısı, B’nin eleman sayısından fazladır yorumu yapılabilir.

Ayrıca öz alt küme (proper sub set) olarak isimlendirebileceğimiz bir alt küme tanımı, kümenin kendisine eşit olmayan alt kümelerdir. Yani normalde bir kümenin alt kümeleri arasında kendisi de sayılabilir, şayet kümenin kendisi dışındaki alt kümeleri kast ediliyorsa bu kümelere öz alt küme ismi verilir.

« Güç Kümesi (Kuvvet Kümesi, Power Set) | Anlamsal Bağ (Semantic Link) »

Yorumlar

Bu Yazı Hakkında

Bilgisayar Kavramları üzerinde şu anda okumakta olduğunuz 'Küme Teorisi (Set Theory)' isimli yazı 24 Jun 2009 tarihinde, saat: 17:06 'de Şadi Evren ŞEKER tarafından gönderilmiş, toplam 631 defa okunmuştur.

Benzer yazıları Bilgisayar Matematiği, bilgisayar felsefesi kategorilerinden okuyabilirsiniz. Yazar ile irtibat kurmak için email gönderebilirsiniz. Yazıya yorum yapabilir ya da yapılan yorumları RSS 2.0 ile takibe alabilirsiniz.

Yazarın Kitabı

Bu yazının yazarı Şadi Evren ŞEKER'in son çıkan kitabı "Programlama ve Veri Yapılarına giriş (C, C++ ve JAVA ile)" hakkında bilgi almak için Buraya tıklayabilirsiniz.
Eklenen Son Yazılar