Yazan : Şadi Evren ŞEKER R project (projesi), daha önceden vâr olan S Lang isimli, ücretli, istatistik diline alternatif olarak ücretsiz olarak çıkarılmıştır. Bu yazının amacı R Project isimli bu istatistiksel modelleme ve geliştirme aracını tanıtan Türkçe bir yazı yayınlamaktır. Bu yazı kapsamında, R Project 2.11.1 sürümü kullanılacaktır. R Project programını, r-project.org sitesinden indirebilirsiniz. Giriş [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimlerinde de sıkça kullanılan ve matematiğin bir parçası olan karmaşıklı teorisi (complexity theory) içerisinde tanımlı olan bir karmaşıklık sınıfıdır (kümesidir, set) Bu kümenin özelliği, bu kümenin üyesi olan, fonksiyon, denklem veya algoritmaların logaritmik zamanda veya logaritmik hafıza ihtiyacı ile çalışıp çalışamayacağının veya çözülüp çözülemeyeceğinin belirlenememesidir. Bu kümenin tanım itibariyle [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bu gösterim, bool cebirinde (boolean algebra) kullanılan ve kaziyeleri (önerme, proposition) ve (and) bağlacı ile bağlamanın özel bir şeklidir. Kısaca CNF (conjuction normal form) olarak ifade edilir. Diğer bir normal şekil olan Chomsky Normal Form (CNF) ile ilgili bilgi arıyorsanız buradan ulaşabilirsiniz. Bu özel şeklin taşıdığı kuralları aşağıdaki şekilde sıralayabiliriz: [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Karmaşık sayıların (complex numbers) çarpımında kullanılan bu yöntem, çarpma işleminin toplamaya göre maliyetli olduğu bilgisayar uygulamalarında tercih edilir. Çarpmak istediğimiz iki karmaşık sayıyı (complex number) aşağıdaki şekilde gösterelim: (x + yi ) = (a + bi) · (c + di) Yöntemin çalışması aşağıdaki 3 sayının hesaplanması ile başlar: k1 = c · [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Tarihi çarpma algoritmalarından birsidir. Bu çarpma algoritmasının özelliği, çarpma işlemi sırasında kafes benzeri bir sayı tablosu kullanmasıdır. 16. yüzyılda yayınlanan Umdet-ul Hisab isimli kitabında Matrakçı Nasuh tarafından 6 ayrı halinin anlatıldığı çarpma metodu o yıllardaki Enderunda matematik eğitiminin parçası olarak okutulmuştur. Algoritma basitçe 3 aşamadan oluşur. Çarpma aşamasında sayıların çarpımından [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER İki tam sayının çarpımı için kullanılan algoritmalardan birisidir. Algoritma temel olarak çok haneli sayıların çarpımında hız kazandırır. Algoritmanın çalışması Algoritma öncelikle çarpılacak olan sayıları, alt gruplara böler. Örneğin herhangi bir x sayısı aşağıdaki şekilde yazılabilir: x = x1Bm + x0 Buradaki B herhangi bir tabanı ve m bu tabanın herhangi [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Antik mısırda kullanılan ve 0 sayısının kullanımından önce geliştirilen çok haneli sayıların çarpımı için kullanılan yöntemdir. Literatürde antik mısır çarpımı (ancient egypt multiplication) olarak geçen yönteme ayrıca çok benzeyen ve rusyada bağımsız olarak geliştirilmiş olan rus köylü çarpımı (peasant multiplication) yöntemi de bulunmaktadır. Yöntem kısaca çarpılacak sayıları 2′nin üstü şeklinde [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimlerinin de üzerine kurulduğu matematik alanında, bir fonksiyonun, frekans alanı (frequency domain) diye isimlendirilen bir alanda, farklı bir fonksiyona dönüştürülmesinin ismidir. Bilgisayar bilimlerinde genelde kesikli matematik teorisine ihtiyaç duyulduğu için bu dönüşümün kesikli olanı kullanılır. Ayrıca sürekli dönüşüm yapılması da mümkündür. Kesikli fourirer dönüşümü esas olarak bir sinayli, bir [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimlerinin de çeşitli alanlarda kullandığı bu teorem literatürde iki farklı konu altıdan geçmektedir. Lagrange teoremini grup teorisi (group theory) altında veya sayılar teorisi (number theory) altında incelemek mümkündür. Bu yazıda bilgisayar bilimleri açısından önemli olan sayılar teorisindeki kullanımına yer verilecektir. Lagrange Teoremi (Grup Teorisi) Teorem tanımı itibariyle: “bir grubun, [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimlerinin de temellerini oluşturan matematik’te kullanılan bir tabirdir. İngilizcede “without loss of generality” kelimelerinin baş harflerinden oluşur ve Türkçede “genelliğini kaybetmeden” şeklinde kullanılabilir. Genelde matematiksel bir ispat yapılması veya bir çıkarım sırasında kullanılır. Buradaki genellik ile kastedilen bir ispattan veya çıkarımdan önceki adımda kabul edilen genel durumun, ispatın sonuna [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bir fonksiyonu(function) iki küme arasında tanımlı bir ilişkiye benzetebiliriz. Buna göre herhangi bir fonksiyon aşağıdaki şekilde bir sahadan (etki alanı, domain) bir menzile (range) tanımlı bir ilişki olarak gösterilebilir. Yukarıdaki gösterimde bir fonksiyon [1,3] sahasından [a,c] menziline tanımlıdır. Bir fonksiyonun Tersi Bir fonksiyonun tersi, o fonksiyonun tanımlı olduğu menzilden sahaya [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimlerinde sıkça örnek olarak kullanıldığı için bu konudaki kavramları ve algoritmaların C dili karşılıklarını bu yazıda açıklamaya çalışacağım. Yazımıza öncelikle iç çarpım veya nokta çarpım olarak geçen çarpma işlemi ile başlayalım. İç Çarpım (Dot Product/Inner Product) Bu çarpma işlemini bir örnek ile anlamaya çalışalım. = Yukarıdaki örnekte görüldüğü üzere [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER 1. Rasyonel / Tamsayı ilişkisi 2. Sayılabilirlik (Countability) 3. Reel / Tamsayı ilişkisi Şayet aynı isme sayıp ERD (Entity relationship diagram) üzerindeki sayısallık konusu ile ilgili yazıyı arıyorsanız bu bağlantıdan erişebilirsiniz. Algoritma analizi (algorithm analysis) ve hesaplama teorisinde (theory of computation) sıkça kullanılan anlamıyla bir kümenin eleman sayısını belirtir. Ayrıca [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimlerinin de aralarında bulunduğu, başta felsefe olmak üzere, matematik ve dilbilim gibi alanlarda kullanılan bir mantık modelidir. Bu modelin özelliği kıyas ve tümden gelim yaklaşımına göre ispatlanabilir özellikte olmasıdır (deductive). Yani bir makine, veya matematiksel model tarafından bu mantık modelindeki gösterimlerin ispatlanması (verification) veya reddedilmesi (falsification) mümkündür. Birinci derece [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimleri de dahil olmak üzere çok sayıdaki bilim ve mühendislik alanında kullanılan bir modelleme biçimidir. Şekilde (graph) kullanılan düğümler (nodes) birer kümeyi ifade etmektedir. Çizimdeki geçişler (transitions) bir kümeden diğer kümeye bir eleman ile geçilebilme durumunu ifade eder. Buna göre bir kümeye eleman eklenmesi veya eleman çıkarılması bir adımlık [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimleri de dahil olmak üzere pek çok matematik temelli bilim ve mühendislik alanında kullanılan oldukça basit bir umdedir. İsmini güvercin yuvalarından alan bu kaideye göre yuva sayısından fazla güvercin varsa, ve bütün güvercinler bir yuvaya girecekse, en az bir yuvaya birden fazla güvercin girmek zorundadır. Bu durumu sembollerle göstermemiz [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER İstatistikte sıkça kullanılan binom dağılımı ile elde edilen ve üssel ifadelerin açılımında çarpan olarak kullanılan üçgenin ismidir. Üçgen basitçe aşağıdaki şekilde inşa edilebilir. Her satır 1 ile başlayıp 1 ile biter Her değer kendi üzerindeki iki değerin toplamına eşittir 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimlerinin bir çalışma alanı olan bilgisayar grafiklerinde kullanılan eğri biçimidir. Bezier eğri çiziminin özelliği parametrik olarak noktalar ile çalışmaları ve verilen noktalara göre bir eğri çizmesidir. Literatürde bézier curve veya bezier eğrisi olarak geçmektedir. İsmi bu hesaplama yöntemini ilk bulan Fransız matematikçiden gelmektedir. Bezier eğrilerinin boyutlarından bahsetmek doğrudur. Buna [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Matematiksel olarak iki tam sayının ortak çarpanlarının (common factors) çarpımından oluşan (common multiple) en küçüğünü bulma işlemidir. Bu işlem için öncelikle sayıların çarpanlarını bulmak sonra bu çarpanlardan ortak olan en küçüğünü almak gerekir. Örneğin 60 sayısının çarpanları (factors) : 5 3 2 2 olarak yazılabilir yani 60 = 5 x [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Matematiksel olarak iki tam sayının çarpanlarına ayrıldığında, iki tam sayıyı da tam olarak bölen en büyük sayıya verilen isimdir. Sayılar üzerinden anlatmak gerekirse 60 ve 72 sayıları için 12 hem 60 hem de 72′yi kalansız bölen (tam bölen) en büyük sayıdır. Bu sayıyı bulmak için iki tam sayı da öncelikle [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bir geometrik seri basitçe elamanlarının üssel arttığı seridir. Örneğin aşağıdaki seriyi ele alalım: a+ax+ax2+ax3+ … Serinin sonsuza kadar gittiğini düşünecek olursak ve terimler arasında bir öncesine göre üssel artış söz konusuysa bu tip serilere geometrik seri ismini verebiliriz. Yukarıdaki serinin çözümü için aşağıdaki yol izlenebilir: a(1+x+x2+x3+…) şeklinde paranteze alabiliriz. İçerideki [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Matematikte sıkça kullanılan ve bilgisayar bilimlerinde ver işlenirken sıkça karşımıza çıkan bir konudur. İnsanlığın günümüzde en yoğun olarak kullandığı ve hemen hepimize ilk okul sıralarından itibaren öğretilen onluk sayı tabanında 0′dan 9′a kadar olan semboller kullanılır : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Değer olarak bu semboller varlık / yokluk veya çoğunluğu ifade eder. Örneğin [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimlerinde çeşitli amaçlarla rastgele sayılara ihtiyaç duyulur. Örneğin şifreleme algoritmalarında önemli bir role sahip olan rastgele sayılar şifreleme işleminin gizliliği ve güvenilirlik açısından önemlidir. Benzer şekilde bir oyun programlanırken veya bir simülasyon sırasında rastgele cereyan eden olaylar modellenirken rastgele sayılara (random numbers) ihtiyaç duyulur ve bu sayıların gerçekten rastgele [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Pekçok temel bilim ve mühendislik için oldukça önemli olan polinomlar (çok terimliler) basitçe bir değerin tek bilinmyenli farklı üssel terimlerle ifade edilmesidir. Bir polinomda toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri bulunabilir. Bir polinomun herhangi bir bilinmeyen değerinin bölme işleminde bölen olması (rasyonel sayının paydası olması) durumunda bu ifade polinom olmaktan çıkar. [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar grafiklerinde bir şeklin dönüştürülmesi sırasında aşağıdaki 3 işlemden birisi yapılabilir: içerik 3 boyutlu uzayda şekil taşıma 3 boyutlu uzayda şekil döndürme Eksene paralel doğru etrafında şekil döndürme Eksene paralel olmayan doğru etrafında şekil döndürme 3 boyutlu şekil ölçekleme Taşıma (Translation) Döndürme (Rotation) Ölçekleme (Scaling) Yukarıdaki bu işlemlerin 2 boyutlu [...]