Bu yazının amacı, istatistiksel normalleştirme (statistical normalization) konusunu açıklamaktır. Şayet ilgilendiğiniz konu, veri tabanlarında normalleştirme (database normalisation) ise lütfen aşağıdaki bağlantıya tıklayarak ilgili yazıya geçiniz.

http://www.bilgisayarkavramlari.com/2012/01/17/normallestirme-normalisation-normalizasyon/

İstatistiksel normalleştirme, özellikle, veri madenciliği (data mining) gibi bilgisayar bilimlerinin istatistiksel veri işleme alanlarında kullanılan bir yöntemdir. Yöntemin amacı, veriler arasında farklılığın çok fazla olduğu durumlarda verileri tek bir düzen içerisinde ele almaktır.

Diğer bir kullanılışı ise farklı ölçekleme sisteminde bulunan verilerin birbiri ile karşılaştırılabilmesidir. Buradaki amaç, matematiksel fonksiyonlar kullanarak, farklı sistemlerde bulunan verileri, ortak bir sisteme taşımak ve karşılaştırılabilir hale getirmektir.

Bu anlamda kullanılan normalleştirme fonksiyonları (normalization functions) aşağıda açıklanmıştır.

1.    Asgari – Azami Normalleştirmesi (Min-Max Normalisation)

Bu yöntemde, bir grup verinin içerisindeki en büyük ve en küçük değerler ele alınır. Diğer bütün veriler, bu değerlere göre normalleştirilir. Buradaki amaç en küçük değeri 0 ve en büyük değeri 1 olacak şekilde normalleştirmek ve diğer bütün verileri bu 0-1 aralığına yaymaktır.

Yukarıda verilen formüle göre her değerin normalleştirilmiş değeri hesaplanır. Bu hesaplamanın çalışmasını bir örnek sayı dizisi üzerinde gösterelim. Örneğin sayı dizimi aşağıdaki şekilde verilmiş olsun:

5, 8,9,11,20, 22,24,25,27,29

Yukarıdaki sayıların normalleştirilmiş halleri aşağıda verilmiştir:

Yukarıda görüldüğü üzere en küçük sayı 0 ve en büyük sayı 1 olarak normalleştirilmiştir. Bu sayılar dışındaki sayılar ise yer aldıkları aralığa göre değerler atanır. Örneğin sayı dizimi aşağıdaki şekilde olsaydı:

10,15,16,17,50,51,55,56,60

Bu durumda normalleştirilmiş değerler aşağıdaki şekilde olacaktı:

Görüldüğü üzere bu yeni normalleştirme sonucunda da sayılarımız 0 ile 1 arasında değerler aldılar. Şimdi bu iki farklı sayı grubunu karşılaştırabiliriz. Örneğin ilk sayı dizimizde bulunan 25, normalleştirme sonucunda 0,83 değerini almıştır. İkinci sayı grubumuzda bulunan 51 ise, normalleştirilmiş değer olarak 0,82 değerini almıştır. Bu duruma ilk sayı dizisinde bulunan 25’in sayılar arasındaki konumu, ikinci dizide bulunan 51 ile yakındır denilebilir (en azından ikinci dizide bulunan 17 sayısına göre daha yakındır çünkü ikinci dizideki 17 sayısı 0,14 gibi çok daha farklı bir değerdir).

Örnekte de görüldüğü üzere iki farklı dizide bulunan sayılar, birbiri ile karşılaştırılmak istendiğinde, ortak bir sayı sistemine çevrilerek içinde bulundukları diğer sayılara göre, göreceli olarak bir değer atanmış ve karşılaştırılmıştır. İşte normalleştirme tam olarak budur

   2. Standart Skor (Standard Score):

Diğer bir normalleştirme yöntemidir. Bir önceki yöntemde, sayılar en yüksek ve en düşük değerlere göre normalleştirilmişti. Bu yöntemde ise ortalama değer (mean value) ve standart sapma (standard deviation) değerleri göz önüne alınır.  Sistemde kullanılan standart sapmaya atfen, standart skor (standard score) olarak da isimlendirilir. Oldukça popüler normalleştirme yöntemlerinden birisidir. Formülü aşağıdaki şekilde yazılabilir:

Yukarıdaki denklemden de anlaşılacağı zere, bir değerin normalleştirilmesi sırasında, ortalama değere (μ) olan uzaklığı alınarak standart sapma değerine (σ) bölünür. Konunun anlaşılması için, bir önceki örnekte kullandığımız sayı dizisini yeniden işlemeye çalışalım:

Yukarıdaki değerleri inceleyecek olursak, 5 ve 29 sayılarının normalleştirme sonucunun mutlak değeri aynı çıkmıştır. Bunun sebebi, iki sayının ortalama değer olan 17’ye olan uzaklıklarının eşit olmasıdır ( 5-17 = -12 ve 29-17 = 12) sadece yönleri farklıdır ve bu durum normalleştirme sonucunda görülmüştür.

Gelelim ikinci dizimizin normalleştirme sonucuna:

Bir önceki normalleştirme sonucunda en büyük ve en küçük sayıların sadece yönü farklıyken bu sefer değerlerde farklılık oldu. Bunun sebebi iki sayının ortalama değere olan uzaklığının farklılaşmasıdır. Bu ikinci dizideki ortalama değer 36.667 olduğu için iki değer farklı olarak normalleştirilmiştir.

Bir önceki normalleştirme olan asgari / azami normalleştirmede bu fark görülememekteydi. Diğer bir deyişle asgari / azami normalleştirme, en büyük sayıyı hep 1 ve en küçük sayıyı hep 0 olarak kabul edip, diğer sayıları bu 0-1 aralığına yerleştirmekteydi, z-skor normalleştirmesinde ise sayılar ortalama değere göre uzaklıklarına göre normalleştirilmektedir. Ayrıca standart sapmaya bölünerek, sayılar arasındaki hareketlilik (değişim hızı) ortalamaya olan uzaklığı normalize etmektedir.

39 views

Çeşitli kayanklarda kelime aritmetiği (verbal aritmetic), kelime toplamı (word addition) veya kısaca cryptarth olarak da geçmektedir. Basitçe iki kelimenin toplamından elde edilen harf denklemidir.

Aşağıda bir cryptartihm verilmiştir:

Yazının tam bu noktasında belirtmeliyim ki tek çözümlü anlamlı bir cryptarithm bulmak oldukça zor. Bu yazıyı yazarken hiç Türkçe cryptarithm olmadığını gördüm ve yaklaşık bir saatlik bir uğraştan sonra (yüzlerce ihtimal denemesi yaparak) yukarıdaki örneği yazabildim. Elbette daha başka örnekler de Türkçe için anlamlı olarak geliştirilebilir ama en azından konuyu bundan sonra anlatırken yukarıdaki örneği kullanacak olanlar bilgisayarkavramlari.com sitesine atıfta bulunurlarsa sevinirim.

Örneğin yukarıda verilen denklemi çözmeye çalışalım. Buna göre nota + keman = musiki olduğuna göre m harfi en fazla 1 olabilir. Çünkü 4 haneli bir sayı ile 5 haneli bir sayı toplandığında çıkan 6 haneli sayının ilk hanesi 1′den büyük olamaz. Bu durumda m = 1 olarak bulunursa, k harfinin alacağı değer 9 olmuş olur. Bunun sebebi 5 haneli bir sayının ilk hanesi 9 olmalıdır ki 4 haneli sayı ile toplamındaki 4. basamaktan gelen değer 1 olduğunda (iki tek haneli sayının toplamının sonucunda elde var değerinin en fazla 1 olacağını hatırlayınız) 9 ile toplanarak 10 sonucuna ulaşılsın.

O halde k = 9 ve doğal olarak 9+1 = 10 ise m = 1 ve u = 0 olarak bulunur.

Şimdi diğer değerlere bakalım. k değeri ile toplanarak bir ilave hane çıktığına göre n + e değeri 10′dan büyük olmalıdır.

n + e > 10 ise  n + e = 10 + s

a+n = 10 + i veya i  olabilir

a + t = 9 veya 19 olduğunu biliyoruz (çünkü k = 9 olduğunu bulmuştuk)

Bu durumda a + n + 10 a + 10 t + 100 m + 100 o = 100 i + 10 k + i olmalıdır. Bu denklemde bilinenleri yerine yazarsak (m ve k )

n + 11 a + 10 t + 100 + 100 o = 101 i + 10 k denklemini buluruz.

denklemde 100′e bölünenleri ortak paranteze alırsak

100 ( 1 + o ) = 101 i + 10 ( k – t ) – 11 a – n

o halde t asgari 1 olabileceğine ve a ise azami 0 olabileceğine göre ( bu durumda eşitliğin sağ tarafı için aşağıdaki durum geçerlidir):

101 + 100 o <= 101 i + 98

3  + 100 o <= 101 i

Buna göre denklemi sağlayan tek o değeri 3 olur.

Bu haliyle denklem aşağıdaki şekildedir:

n3ta + 9e1an = 10si9i

Diğer değişkenleri bulmak artık daha da basittir:

m + o = 1 + 3 = 4 olduğuna göre i = 4 bulunur.

n3ta + 9e1an = 10s494

son iki hane için aşağıdaki denklem çıkarılabilir:

10 t + a + 10 a + n = 94 (elde var devri olmadığı için)

11 a + 10 t + n = 94 denklemindeki çözüm ihtimalleri aşağıdaki şekildedir:

Yukarıdaki ihtimaller dışında bir çözüm bulunmamaktadır.

ayrıca n + e > 9 olmalı şartını hatırlayalım. Bu durumda n değeri 0 olamaz. Son olarak a + n = 4 veya 14 olduğuna göre tabloda bu şartı sağlamayanları eleyelim:

Son olarak n = a olmadığına göre yani eşit olsalar aynı değişkenle gösterileceklerine göre kalan iki ihtimali incleyelim:

4390 + 9e104 = 10s494

denkleminde a = u olduğu için bu değerleri de alamayız.

son olarak kalan diğer ihtimale bakalım:

8326 + 97168 = 105494 olarak sonuçlar bulunur.

241 views

Bu yazının amacı, geometri konusunun bir alt kolu olan hesaplamalı geometriyi izah etmektir. Esas itibariyle mühendis kelimesinin kökü olan, hendese kelimesini büyük ölçüde karşılayan geometri kelimesinin başına hesaplamalı gibi bir kelime getirmek anlamlı değildir. Çünkü zaten geometri hesaplamalı bir çalışma alanıdır. Buradaki hesaplamalı kelimesi daha çok bilgisayar ile işlenen anlamını taşımaktadır. Yani hesaplamalı geometri ile kasıt (computational geometry) bilgisayar ile işlenen geometri çalışmalarıdır. İngilizcede kullanılan computational kelimesi bu anlamda, bilgisayarı (computer) çağırması açısından daha doğru bir tercihtir.

Geometri ve bilgisayar çalışmalarının kesişim noktası olan hesaplamalı geometri konusuna bilgisayar bilimleri açısından bakıldığında, geometrik problemleri çözen algoritmaların geliştirilmesi ve iyileştirilmesi (optimisation) olarak düşünülebilir.

Hesaplamalı geometri çalışmalarının ilk çıkışı, bilgisayar grafikleri konusunda yapılan çalışmalardır. Örneğin bir bilgisayar animasyonu veya bilgisayar destekli çizim tasarım ve üretim yazılımları (CAD / CAM) hesaplamlı geometrinin doğuşuna ve gelişmesine öncülük etmiştir.

Günümüzde, ayrıca robot çalışmaları, coğrafi bilgi sistemleri (geographic information systems, GIS) veya entegre devre tasarımı (integrated circuit , IC) gibi konularda da hesaplamalı geometriden yoğun olarak istifade edilmektedir.

Yapı olarak çoğu bilgisayar bilimleri çalışmasında görüldüğü üzere iki farklı usül görülebilir.

Terkîbî hesaplamalı hendese (combinatorial computational geometry): Bilgisayar bilimlerinde bulunan terkibi çalışmaların (combinatorial) bir alt grubudur. Genel olarak birden fazla ihtimali içersen sonlu sayıdaki elemalı kümelerin (finite element sets) üzerinde çalışan ve bu kümeler üzerinde ihtimal veya ittihat (birleştirme) (combination) işlemleri yapan çalışmalara, birleştirme anlamında terkip (combinatorial) ismi verilmektedir. Bu alan, bilgisayar bilimleri açısından da önemli bir yere sahiptir.

Sayısal hesaplamalı hendese (numerical computational geometry): Bilgisayar bilimlerinde, karşılaşılan problemlerin çözülmesi için geliştirilen diğer bir yöntem de sayısal analiz yöntemlerini kullanmaktır. Buna göre sistemden sonlu sayıda noktanın analizi yapılmaktadır. Örneğin sarnıçlama yöntemi ile seçilen noktalar üzerinde hesaplama yapıp sisteme genellemek gibi yöntemler kullanılır.

Yukarıdaki iki farklı hesaplamalı geometri usulünün farkını anlatmak için bir misal verelim.

Örneğin aşağıda (üstteki mavi çizimle gösterilen) fonksiyon, basit bir sin(x) fonksiyonudur.

Bu fonksiyonun analitik değerinin sin(x) olduğunu bilmeden, fonksiyona çeşitli değerler vererek şekli çizilirse, alttaki resimde görüldüğü üzere doğrusal bir fonksiyon bulunur. Bu fonksiyon, orjinal fonksiyona yakın ancak tam değildir. Örneğin integral almak gibi basit geometrik işlemler, yukarıdaki ilk fonskiyon üzerinden analitik olarak yapılabileceği gibi, ikinci fonksiyondaki örnek noktalar üzerinden de yapılabilir (bkz. Aradeğer ile integral hesabı (integral by interpolation))

321 views

Bilgisayar bilimlerinde, bir programın incelenmesi sırasında, herhangi bir kaziyenin (predicate, haber, önerme), çeşitli işlemler uygulanmasına karşılık yeknesan olması halidir.

Diğer bir deyişle, program çalışır ve çeşitli işlemlerden geçer, ancak bazı şeyler değişmeden kalıyor ve ne kadar işlem yapılırsa yapılsın değişmiyorsa buna yeknesan (değişmez, invariant) ismi verilir.

En basit örneği, bir değişkenin (variable) içine değer atanması ama hiç değiştirilememesidir.

int a = 10;
// işlemler
printf("%d",a);

Yukarıdkai kodda, a değerini ilgilendiren işlemler yapılmıyorsa, a için yeknesan olmuş denilebilir. Farklı bir örnek de döngülerde görülür:

for(int i = 0;i<10;i++){
   printf("%d",i);
}

Yukarıdaki döngüde, i<10 şartında bulunan 10′dan küçük olma şartı yeknesan olmuştur. Yani döngünün dönmesi sırasında değişmeden kalmaktadır. Hemen bu noktada önemli bir farkı belirtmek gerekir. Yeknesean kavramı, sabit kavramı ile (constant) karıştırılabilmektedir. Örneğin yukarıdaki döngüde bulunan 10 sayısı bir sabittir ve yeknesan değildir. 10′dan küçük olma durumu ise değişmeden kalan bir yeknesan olarak düşünülmelidir.
Yukarıdaki tip yeknesan örneklerine, özel olarak daire yeknesanı (loop invariant, döngü değişmezi) ismi de verilebilir.

Bu yaklaşım, ayrıca program analizi veya problem analizi sırasında da kullanılabilir. Örneğin MU Probleminin çözümünde, yeknesan bir değer yakalamaya çalışmak gerekir. Benzer şekilde Hoare Mantığı (Hoare Logic), programların belirli bölümlerinde, ön ve son koşullar belirleyerek bunların yeknesan olmasını sağlamaktadır.

Bu yöntem, bilgisayar bilimleri dışında da kullanılır. Örneğin, kanun yapım sürecinde, bütün kanunlarda değişmeyen kötü hasletler vardır. Bu yüzden, hırsızlık veya cinayet gibi suçlar, kanunlar değişmesine karşılık, bütün kanunlarda yerini almaktadır. Bu anlamda, değişen kanun sistemleri için, hırsızlık, yeknesan bir suçtur denilebilir.

243 views

Matematikte halka (ring) olarak geçen konu, bilgisayar bilimleri dahil pek çok bilimi yakından ilgilendirmektedir. Bu yazıda bilgisayar bilimlerindeki uygulamalarından çok konunun özü anlatılacaktır ancak site üzerinde ilgili yazılar ileride yayınlanacaktır.

Halkaların tarihsel olarak ilk çıkışı, Fermat’nın son teoreminin (Fermat’s Last Theorem) ispatı sırasında gündeme gelmiştir.

Halkalar en basit tanımla bir cebirsel kümedir ve üzerinde ikili işlemler (binary operations) tanımlıdır. En kolay kullanılan ikili işlemler, toplama veya çarpma gibi işlemlerdir.

Bu ikili işlemler zenginleştirilebilir ancak aşağıdaki özellikleri taşıması gerekir:

• Birleşme özelliği (associativity)
  
• Yer değişme özelliği(commutativity)
  
• Dağılma özelliği (Distribution)
  
• Tersi olma özelliği (additive inverse)
  
• Toplamaya göre birim değer (additive identity)
  

  Yukarıdaki özellikleri taşıyan en basit halkalar tam sayılar kümesindeki (Z) sayılardır.
  
  Ayrıca herhangi bir modüler tabandaki tam sayıyı da kolaylıkla halka olarak düşünebilriz.
  
  Örneğin Z₆ veya mod 6 olarka ifade edilen sayıları ele alalım:
  

  {0,1,2,3,4,5}
  
  sayıları üzerinde bir toplama işlemi tanımlıdır ve Z₆ üzerindeki toplamaların tamamı yine Z₆ üzerinde tanımlıdır. Benzer durum çarpma için de doğrudur.
  
  Örneğin 2+6 = 8 = 2 mod 6 veya 3*5 = 16 = 4 mod 6 olduğu görülebilir.
  
  Bu işlemlerin tamamını bir tablo üzerinde göstermemiz mümkündür:
  
  Toplam tablosu:
  

  +	0	1	2	3	4	5
  0	0	1	2	3	4	5
  1	1	2	3	4	5	0
  2	2	3	4	5	0	1
  3	3	4	5	0	1	2
  4	4	5	0	1	2	3
  5	5	0	1	2	3	4

  Çarpım Tablosu:
  

  x	0	1	2	3	4	5
  0	0	0	0	0	0	0
  1	0	1	2	3	4	5
  2	0	2	4	0	2	4
  3	0	3	0	3	0	3
  4	0	4	2	0	4	2
  5	0	5	4	3	2	1

   

  Z₆ üzerinde tanımlı olan toplama işleminin tersi olması hasebiyle (çıkarma – ) bir abelyen grup (abelian group) olarak kabul edilebilir.
  

  Aynı zamanda, çarpma işlemindeki 1 değerini ele alırsak ve bu değerin çarpma işleminde önce veya sonra olması halinde sonucun değişmemesi göz önüne alınırsa ( 1xn = nx1 ) bu grubun monoid grup olduğunu da söyleyebiliriz.
  

  Ayrıca halkaların özel bazı durumlarını yukarıdaki örnekte görmek mümkündür. Örneğin 0 sayısını ele alalım. Bu sayının köklerine bakıldığında, ya çarpanlardan birsinin 0 olması gerekir ya da :
  

  0 = 3 x 4 veya 0 = 2 x 3 olduğunu görebiliriz. Bu durumda 0′ın kökleri {(3,4) , ( 2,3), (0,n) } şeklindeki küme olacaktır. (yer değiştirme özelliğinden dolayı bu ilişkilerin tersinin de bu özelliği sağladığını söyleyebiliriz). Bu tanımı özel olarak ilerletir ve çarpanlarından birisi 0 olan kökleri almazsak kümemiz {(3,4) , (2,3)} şeklini alacaktır. Bunun sebebi 0 sayısının tanımının bu çarpanlarla yapılabileceğidir. Yani 0 sayısını, 0 sayısı kullanmadan tanımlamak istediğimizde 3×4 veya 2×3 şeklinde yazmamız gerekir. Örneğin 0 = 1×0 tanımı, kendini tekrarlayan ve tnaımın içerisinde yine 0 bulunduran bir yapıdadır.
  

  Alt Halka (Subring)
  

  Bir halka tarafınan içerilen ve aynı özellikleri kullanarak yine halka olma özelliği taşıyan alt gruplara (subgroup) verilen isimdir.
  

  Örneğin tam sayılar kümesinin halka olma özelliği bulunmaktadır ve yukarıdaki Z₆ kümesi, bu halkanın bır alt haklasıdır (sub ring)

183 views

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bilgisayar bilimleri de dahil olmak üzere pek çok mühendislik ve istatistiksel uygulamada kullanılan bir dağılımdır. İsmini, kendi olasılık teorisini yayınlayan Sim`eon Denis Poisson’un soy isminden almaktadır ve Türkçede, “pvasson” kelimesinin okunması şeklinde telaffuz edilmektedir. (neden bilmiyorum ama ben de dahil pek çok kişi bilmeden bu dağılımı İngilizcedeki “poison” gibi telaffuz etmekte ısrar ediyoruz, oysaki kelime Fransızca )

İlginç bir şekilde doğal olaylardaki dağılımlar oluşturulduğunda Poisson dağılımına yakın karakterde çıkmaktadır. Örneğin bir telefon santraline dakikada gelen aramaların dağılımı, bir web sunucusunda yapılan dakika başına sayfa talepleri veya sabit bir radyasyon altında bir DNA diziliminde meydana gelen mutasyon sayıları gibi değerlerin dağılımı hep Poisson dağılımına uymaktadır.

Karakteristik denklemi ile hesaplanmaktadır. Formüldeki k, gerçekleşen olayların sayısını λ i se beklenen değeri (expected value) vermektedir .

Yukarıdaki şekilde farklı λ değerleri için çizilmiş farklı dağılım grafikleri görülmektedir. (şekildeki yatay eksen k değerlerini ifade etmektedir).

Yukarıda verdiğimiz fonksiyonu C dilinde kodlayalım:

Poisson dağılımı yukarıdaki kodda görüldüğü üzere basit bir fonksiyon ile hesaplanabilir. Bu fonksiyondaki e değeri kabulü yine kodda verilmiştir, hassasiyeti arttırmak için hane sayısı arttırılabilir.

Yukarıdaki kodun ekran çıktısı aşağıda verilmiştir:

Yukarıdaki değerleri grafik üzerine yerleştirecek olursak:

Şekilde görüldüğü üzere dağılım fonksiyonu, yazının başında verilen dağılım şeklindedir. 

450 views

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bu yazının amacı, bilgisayar bilimlerinde, çeşitli konularda geçen normal dağılımı anlatmaktır. Literatürde, normal dağılım (normal distribution) veya Gauss dağılımı (Gauss distribution) olarak da geçen konu kabaca çan eğrisi olarak tanımlanabilir (bell curve).

Yukarıdaki şekil, normal dağılımın grafiğidir ve aşağıdaki formülle hesaplanır (Gauss fonksiyonu):

Yukarıdaki formül, aynı zamanda gauss dağılımının, olasılık yoğunluk fonksiyonu (probability dense function, pdf) olarak geçmektedir. Formülde kullanılan ve çan eğrisinin şeklini belirleyen en önemli değişken σ değeridir. Bu değer dağılımın üzerinde uygulandığı olasılıksal sürecin (stochastic process) veya topluluğun (population) standart sapmasıdır (standard deviation). Dikkat edilirse formülde kullanıldığı iki yerde de karesi alınmıştır. Bu anlamda değişme (varyans, variance) değeri olarak kabul edilebilir (E = σ ² olduğunu hatırlayınız).

Ayrıca formülümüzde bulunan μ değeri, ortalama değerdir (mean) ve çan eğrisinin tepe noktasının hangi x değeri için olduğunu belirler. Örneğin yukarıdaki şekilde 3.6 noktasında tepe yapmıştır. Bu durumda μ=3.6 olmuş denilebilir.

Bütün dağılım fonksiyonlarının ortak özelliği olarak, çizilen eğrinin altında kalan alanın toplam değeri 1 olmalıdır (olasılıkların toplamının 1 olduğunu hatırlayınız).

Bu değerleri hesaplayan programı C++ dilinde yazmaya çalışalım:

Kodda basitçe anlatılan fonksiyon kodlanmıştır. Fonksiyonu kodlarken math.h kütüphanesinden faydalandık ve PI ve e sabitlerini kodda görüldüğü şekilde tanımladık. Hassas sonuçlar için bu değerler daha hassas hale getirilebilir.

Kodun çalışan hali aşağıdaki şekildedir:

Yukarıdaki kod üç değer almaktadır. Buna göre hesaplanması istenen x, dağılımın ortalama değeri ve standart sapması girilmelidir. Dağılımın nasıl bir yapıda olduğunu görebilmek için bir döngü halinde bazı değerleri hesaplatalım:

Yukarıdaki kodda, bir döngü içerisinde x=3.2 ile 4.0 arasındaki değerleri otomatik olarak hesaplatıyoruz. Kodun çıktısı aşağıdaki şekildedir:

Yukarıdaki sonuçlardan anlaşılacağı üzere değerler bir çan eğrisi şeklinde yükselip 3.6 değerinde tepe yaptıktan sonra tekrar alçalmaktadır. Bu durumu, yukarıdaki değerleri, aşağıdaki şekilde işaretleyerek göstermeye çalışalım:

Yukarıdaki şekilde kesikli olarak (discrete) elde edilen sonuç bir gauss dağılımıdır ve yazının başında verilen grafiğin kodlanarak ulaşılmış halidir. Grafiği daha iyi görebilmek için daha sık aralıklar verilerek deneme yapılabilir.

Ayrıca konunun bilgisayar bilimleri ile ilgili bir uygulaması için, resim işleme (image processing) konusunda kullanılan düzleştirme filitresi (gauss filter) başlıklı yazıyı okuyabilirsiniz.

519 views

Türkçede abelyen grup veya değişmeli grup tabiri kullanılmaktadır. (İngilizcede, Abelian Group olarak geçmektedir). İsmini grubu ilk defa tanımlayan Niels Henrik Abel’den almaktadır.

Grubun özelliği soyut matematik çalışmaları sırasında sıkça atıfta bulunulması ve basit bir halka (ring) yapısında olmasıdır.

Abelian grup, en kaba haliyle aşağıdaki özellikleri taşıyan bir kümedir (set).

Herhangi bir ikili işlem (binary operator) i için, bundan sonra “•” sembolü ile ifade edilecektir ve a•b şeklinde gösterilecektir, abelyen olan bir küme, bundan sonra A ismi ile anılacaktır, aşağıdaki özellikleri taşımalıdır.

Kapalılık (Closure) : “a ∈ A ve “b ∈ A şeklinde iki eleman almak şartıyla, c = a•b olan üçüncü bir c sonucu için c∈A olmalıdır. Yani işleme giren elemanlar da çıkan sonuç da aynı kümede olmalıdır.

Birleşme (Associativity) : “a ∈ A , “b ∈ A ve “c ∈ A şeklindeki elemanlar için, c•(a•b) = (c•a)•b durumunu sağlayabilmelidir.

Birim Eleman (Identity Element): “a ∈ A ve ∃e ∈ A olan öyle bir e değeri vardır ki • a = a • e = a şartını sağlar.

Ters Eleman (Inverse Element) : “a ∈ A ve ∃b ∈ A için a • b = b • a = e şartını sağlayan bir eleman vardır.

Yer Değiştirme (Commutativity): “a ∈ A , “b ∈ A için a • b = b • a şeklinde yer değiştirebilirler.

Yukarıdaki sayılan özelliklerinden dolayı, abelyen gruba kısaca değişebilir grup ismi de verilir. Yani a • b = b • a şeklinde elemanları yazılabilen gruptur. Ancak sadece bu özelliği olması yukarıda sayılan diğer özellikleri olmasını gerektirmediğinden özel bazı durumlarda hatalı olabilir.

143 views

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Fermat’nın son kuramı, basitçe aşağıdaki eşitliğin doğru olduğunu iddia etmektedir.

Yukarıdaki eşitliği bırakmasına karşılık Fermat ne yazık ki bunun doğruluğunu ispatlamamış ancak ispatı yolunda önemli bir adım bırakmıştır.

Buna göre hem denklemin tarihsel sürecini inceleyelim:

Öncelikle pisagor bağlantısı ile işe başlayabiliriz (Pytogorean triples)

oldukça meşhur olan bu eşitlik, dik üçgenlerin (kaim zaviyeli müselles) kenarları arasındaki bağlantıdır ve c değeri hipotenüs olmak şartıyla:

olarak yazılabilir. Bu denklemi sağlayan Pisagor üçlülerinin (müselles) bazıları tam sayı olması hasebiyle daha kolay hesaplanır. 3,4,5 müsellesi 5,12,13 müsellesi gibi.

Pisagordan sonra benzer denklemlerle uğraşan Diofantin’i görüyourz (Diophantine) ve aşağıdaki iki eşitliği sağlayan sayıları araştırıyor:

A= x + y

B = x ² + y ²

C = x ³ + y ³

Diğer bir deyişle Diofantin’in bulmaya çalıştığı şey, birinci ikinci veya n’inci dereceden ikililerin toplamı sonucunda çıkan değerdir yani bu denklemin çözüm kümesidir.

Örneğin yukarıdaki denklemlerden ilkini ele alalım:

A= x + y

şeklinde verilen denklem aslında birinci derece olması hasebiyle, doğrusal bir bağlantıdır (linear equation). Bu denkleme çözüm üretmesi açısından denklemi geliştirirsek:

ax + by = c şeklindeki bir denklem için çözüm kümesinin

(a,b) | c şeklinde tam böler olmaları gerektiğini söyleyebiliriz.

Farklı bir örnek olarak (9,100) ikilisini alalım. Bu iki sayı aralarında asaldır (relatively prime) (en büyük ortak böleni 1′dir). Bu durumda aşağıdaki denklem için:

9x + 100y = 1

denklemi sağlayan x ve y değerleri bulunabilir.

Örneğin x = -11 ve y = 1 veya x = 89 ve y = -8 gibi sonuçlar denklemi sağlar. Aslında modüler aritmetik ile düşünüldüğünde bu denklemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu söyleyebiliriz.

Diofantin denklemlerini çözerken sonsuz sayıdaki çözümü bir denklem ile göstermek daha akılcı olabilir.

Örneğin aşağıdaki denklemi çözmek isteyelim:

6x + 9y = 21

(6,9) | 21 koşulu sağlanmaktadır (6 ile 9′un en büyük ortak böleni 3′tür ve 3|21 durumu sağlanmaktadır). Bu durumda hızlı bir çözüm ile +7 ve -7 değerleri için aşağıdaki denklemler yazılabilir:

x = 3k – 7

y = -2k + 7

Örneğin k = 5 için x = 8 ve y = -3 çözümleri bulunur.

Fermanın Kabulü

Fermat, yukarıdaki tarihsel gelişimden sonra herhangi bir kesirli sayı k için aşağıdaki eşitliğin olabileceğini kabul etimiştir:

k2 = u2 + v2

eşitlikte bulunan u ve v değerlerini de kesirli sayılar olarak kabul eder.

Örneğin k = 4 için u = 16/5 ve v = 12 / 5 değerleri bulunabilir:

Çözüm için izlenebilecek bir yol üstler ile biraz değişiklik yapmaktır:

denklemi iki kare farkı şeklinde yazılabilir :

Yukarıdaki çarpma işleminin iki terimden ibaret olduğunu düşünürsek,

olarak yazılabilir. Denklemde bulunan y ve z değerlerinin çözümü için yerine yazma yöntemini kullanırsak (substitute):

yukarıdaki iki ihtimalin çözümünden de aşağıdaki durum elde edilebilir:

Yukarıdaki denklemde bulunan sayıların kesirli sayılar olduğunu hatırlarsak, yukarıdaki denklemi daha fazla ilerletemeyiz. Ancak n sayısı bir tek asal sayı olmak şartıyla, aşağıdaki denklemi elde edebiliriz:

Ayrıca biliyoruz ki n sayısını herhangi bir tek asal sayı bölemezse, n sayısı bir çift sayıdır (bütün tek sayıların, tek asal sayıların çarpımı veya kendisi şeklinde yazılabileceğini hatırlayınız)

şeklindeki gösterim ile iktifa ediyoruz ve Fermat’nın bu denkleme bir çözümü olmadığını ancak tek asal sayılar için doğruluğunu göstermekle yetiniyoruz.

240 views

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bilgisayar bilimleri de dahil olmak üzere pek çok matematik temelli bilim için önemli olan denklemlerdir. Milattan önce 3. yüzyılda İskenderiye’de yaşamış olup bugün için oldukça önemli olan denklemleri bırakmıştır. Aynı zamanda Fermat’ın son denklemi olarak geçen denkleme de öncülük etmiştir.

Bilgisayar bilimleri açısından özellikle tam sayılar üzerine kurulu olan şifreleme (kriptoloji, cryptography) veya çizge kuramı (graph theory) gibi konularda önemli bir yere sahiptir.

Diyofantus basitçe aşağıdaki şekilde verilen denklemlerin çözümünü aramıştır.

A= x + y

B = x ² + y ²

C = x ³ + y ³

Diğer bir deyişle Diyofantus’in bulmaya çalıştığı şey, birinci ikinci veya n’inci dereceden ikililerin toplamı sonucunda çıkan değerdir yani bu denklemin çözüm kümesidir.

Örneğin yukarıdaki denklemlerden ilkini ele alalım:

A= x + y

şeklinde verilen denklem aslında birinci derece olması hasebiyle, doğrusal bir bağlantıdır (linear equation). Bu denkleme çözüm üretmesi açısından denklemi geliştirirsek:

ax + by = c şeklindeki bir denklem için çözüm kümesinin

(a,b) | c şeklinde tam böler olmaları gerektiğini söyleyebiliriz.

Farklı bir örnek olarak (9,100) ikilisini alalım. Bu iki sayı a ralarında asaldır (relatively prime) ( en büyük ortak böleni 1′dir). Bu durumda aşağıdaki denklem için:

9x + 100y = 1

denklemi sağlayan x ve y değerleri bulunabilir.

Örneğin x = -11 ve y = 1 veya x = 89 ve y = -8 gibi sonuçlar denklemi sağlar. Aslında modüler aritmetik ile düşünüldüğünde bu denklemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu söyleyebiliriz.

Diophantine denklemlerini çözerken sonsuz sayıdaki çözümü bir denklem ile göstermek daha akılcı olabilir.

Örneğin aşağıdaki denklemi çözmek isteyelim:

6x + 9y = 21

(6,9) | 21 koşulu sağlanmaktadır (6 ile 9′un en büyük ortak böleni 3′tür ve 3|21 durumu sağlanmaktadır). Bu durumda hızlı bir çözüm ile +7 ve -7 değerleri için aşağıdaki denklemler yazılabilir:

x = 3k – 7

y = -2k + 7

Örneğin k = 5 için x = 8 ve y = -3 çözümleri bulunur.

Yukarıdaki özel durumu genelleştirecek olursak aşağıdaki çözüm yöntemini geliştirebiliriz:

(a,b) = d | c şartını sağlamak üzere verilen bir

ax + by = c denklemi için

Çözümleri yazılabilir. Buradaki k tam sayı olması şartı bulunur.

Denklemde bulunan x0 ve y0 değerleri ise herhangi bir çözümde elde edilen sonuçtur. Nitekim modüler aritmetik bir tekrarlı grup oluşturmakta (linear congurent) ve yukarıdaki denklemlerde buna işaret etmektedir.

Yukarıdaki yazdığımız denklemleri kullanarak örneğimizi tekrar çözmeye çalışalım:

6x + 9y = 21

(6,9) = 3 | 21 olduğuna göre

a=6, b=9, c=21 ve d=3 olarak kabul ediyoruz ve denklemin bir ilk çözümünü buluyoruz. Örneğin x0 = -7 ve y0 = 7

Buna göre denklem sistemimiz aşağıdaki şekilde çözülmüş olur:

yukarıdaki iki denklemin sadeleştirilmiş hali ise zaten çözdüğümüz

x = 3k – 7

y = -2k + 7

denklemlerini vermektedir.

Yukarıdaki durumu çözen bir kod yazmaya çalışalım:

Öncelikle, verilen sayılar için d= obeb(a,b) değerini hesaplıyor ve ardından şayet c ile aralarında asal değillerse (relatively prime), x0 ve y0 değerlerini hesaplıyoruz. Sonuçta bulunan değerleri bir denklem şeklinde ekrana bastırıyoruz.

Yukarıdaki kodda belki biraz zor olan kısım ilk değerlerin hesaplanmasıdır. Burada nümerik bir yöntem izleyerek bütün ihtimalleri x0 = 0 ve y0 = 0 durumundan başlatarak hesaplatıyoruz. Bu işlemler için kullanılan yardımcı fonksiyonlar aşağıdaki şekilde kodlanmıştır.

Yukarıdaki kodun çıktısı aşağıda verilmiştir:

Gelelim çoklu denklemlere. Çoklu denklemler için öncelikle meşhur olmuş maymun ve hindistan cevizi problemine (monkey and coconut problem) bir bakalım:

“batan bir gemiden kurtulan n adam ve bir maymun ıssız bir adaya çıkarlar. Adamlar ormandaki ağaçlardan hindistan cevizi toplayıp bir köşeye yığarlar ve sonra uykuya çekilirler. İçlerinden birisi gece uyanıp gizlice cevizleri n’e böler artan bir tanesini maymuna verdikten sonra kendi payını alır ve hiçbir şey olmamış gibi hepsini eski yerine koyarak uyumaya devam eder. İşin ilginci, ertesi akşam bir başkası kalkar yine gizlice cevizleri n’e bölüp artan bir tanesini maymuna verip kendi payını aldıktan sonra eski haline getirip yatar. Kalan kişilerde ilerleyen gecelerde benzer şekilde kalan hindistan cevizlerini n’e bölerek artan bir tanesini maymuna vermekte ve kendi paylarını almaktadır. Sonuçta bir sabah kalkarlar bu sefer hep beraber kalan cevizleri n’e bölerler herkes kendi payını alır ve maymuna da bir şey kalmaz. soru şudur:başlangıçta en az ne kadar hindistan cevizi vardı acaba?”

Yukarıdaki soru anlaşılsın diye sayısal örnek üzerinden açıklamaya çalışalım:

Örneğin 5 kişi olsunlar ve ortamda 15621 ceviz bulunsun.

Sorunun çözümünde her gün için kalkan kişinin kaç ceviz aldığı ve ne kadar ceviz arttığı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Son gün kalan cevizler bölüşüldüğünde 5116 – 1 = 5115 / 5 = 1023 ceviz herkese pay edilmiş olur.

Yukarıdaki çözüm doğru olmakla birlikte sorudaki en az ihtimali taşımamaktadır.

Problemin çözümü için aşağıdaki özyineli denklem (recursive) yazılabilir.

N, ceviz sayısı n kişi sayısı ve m ise maymunun payı olmak üzere:

N=n a ₁ + m

N – a ₁ – m = n a ₂ + m

N – a ₁ – a ₂ – 2m = n a ₃ + m

…

N – a ₁ – a ₂ – a ₃ – … – a _n – nm = na + m

Yukarıdaki açık hali özyineli hale getirirsek :

N = n a ₁ + m

(n-1) a ₁ = n a ₂ + m

(n-1) a ₂ = n a ₃ + m

…

(n-1) a _n-1 = n a _n + m

(n-1) a _n = na + m

Yukarıdaki bu denklemi bir döngü içerisinde kodlayabiliriz. Örnek olarak verilen ceviz sayısı için kaç kişi olacağını bulan kodu aşağıdaki şekilde yazalım:

Yukarıdaki kodun çıktısı aşağıdaki şekildedir:

179 views