Yazan :Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimleri de dahil olmak üzere pek çok istatistiksel hesabın gerektiği alanda kullanılan bir yaklaşımın ismidir. İsmi bir kumarhane olan monte carlo’dan gelmektedir ve kumarhanede oynanan oyunlardan çıkmış bir yöntemdir. Yöntemin genel yapısı aşağıdaki şekilde özetlenebilir: Sisteme girenler için bir alan tanımı (domain) yap Bu tanımlı alandan bir dağılıma uygun olarak [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Özellikle veri güvenliği ve şifreleme algoritmaları tarafından kullanılan permutasyon matrisi tanım olarak, her satır ve sütununda sadece bir tane 1 değeri olan ve diğer değerlerinin 0 olduğu matristir (masfuf). Örneğin aşağıdaki matris bir permutasyon matrisidir: | 100 | | 001 | | 010 | Ve bu matrisin diğer bir permutasyonu [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Hata kontrolü için kullanılan yöntemlerden birisidir. Veri güvenliği, veri iletimi veya veri sıkıştırma gibi alanlarda kullanılır. Genelde H sembolü ile gösterilir. Basitçe sistemde kullanılan üreteç matristen (generating matrix) çıkarılabilir. Bir eşlik kontrol matrisinin yapısı aşağıda verilmiştir: G = [I|P] şeklinde bir üreteç matris olmak üzere H = [PT|I] şeklinde bir [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Kodlama kuramında (coding theory) geçen bir kavramdır. Elimizde bir matris olduğunu ve bu matristen, veri sıkıştırma (compression), veri güvenliği (cryptography) veya ver iletişimi (data communication) gibi çeşitli amaçlar için kod kelimeleri (code words) üreteceğimizi düşünelim. Öncelikle bir adet matris seçiyoruz. Amacımız bu matrisin bir de çarpanı olan satır vektörü ile [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bir sayının asal çarpanlarına ayrılması için kullanılan yöntemlerden birsidir. Yöntemin ismi kalbur probleminden (sieving problem) gelmektedir. Sayı alan kalburu (NFS), yapı olarak bir Ferma’nın çarpanlara ayırma sistemine dayanan (Fermat’s Factorization) bir denklik elde etmek ister. Buna göre amacımız a2 = b2 mod n şeklinde bir denklik yakalamaktır. Bu denklik elde [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Verilen bir sayının asal sayı olup olmadığının bulunması, bilgisayar bilimlerinde, özellikle veri güvenliği (kriptoloji) konusunda oldukça önemlidir. AKS asallık testinin ismi, yöntemi geliştiren üç kişinin isimlerinden türetilmiştir. ( Agrawal, Kayal, Saxena) Yöntemin dayandığı matematiksel yapı aşağıdaki denklemdir : (x – a)n ≡ (xn – a) mod n Aslında bu denklem, [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Sayı teorisinde (number theory), bir sayının verilen modülodaki 1′e denk olan üstüne o sayının çarpım derecesi (multiplicative order) ismi verilir. or(n) sembolü ile gösterilir. Buradaki r değeri modüloyu, n değeri ise sayıyı ifade eder. Örneğin o13(5) değerini hesaplayalım. 5k ≡ 1 mod 13 olan k değerini bulacağız. 51 ≡ 5 mod 13 [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Belirli bir aralıkta verilen bütün asal sayıları bulmaya yarayan algoritmadır. Bu algoritmada bir kalbur problemi olarak görülebilir ve daha önceden problemle uğraşmış olan Eratosten tarafından geliştirilen çözümün gelişmiş halidir. Algoritmanın ismi, 2004 yılında bu yöntemi geliştiren kişiden gelmektedir. Algoritma adımları aşağıda açıklanmıştır: Öncelikle bütün sayılar mod 60 ta çalışır. Yani [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bu yazının amacı bilgisayar bilimlerinde özellikle veri güvenliği ve şifreleme konularında (kriptoloji) oldukça önemli bir yeri olan çarpanlara ayırma işleminin hızlı bir şekilde gerçekleşmesi için kullanılan eliptik eğri ile çarpanlara ayırma metodunu açıklamaktır. Literatürde Elliptic Curve Factorization Method olarak geçen ve bazan ECM olarak kısaltılan yöntem, aşağıdaki adımlardan oluşmaktadır. Öncelikle [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Pollard’s rho çarpanlara ayırma metodu (factorization), büyük asal sayıların hızlı bir şekilde çarpanlara ayırılmasını amaçlamaktadır. Veri güvenliği (kriptoloji) açısından oldukça önemli olan bu yöntemin çalışması aşağıdaki adımlardan oluşur: Çarpanlarına ayrılmak istenen sayının n olduğunu kabul edelim. Bulacağımız çarpan d olarak isimlendirilecektir ve d sayısı d | n şartını sağlayacaktır (tam [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bu yazının amacı sayıların ondalıklı olması halinde (floating numbers, küsuratlı sayılar, real numbers, reel sayılar, gerçel sayılar) tabanlarının nasıl değiştiğini anlatmaktır. Normal sayıların taban dönüşümü için buraya tıklarayarak ilgil yazıyı okuyabilirsiniz. (number bases) Öncelikle küsurat kısmının payda olarak değerlendirilmesi gerektiğini bilmemiz gerekir. Normalde bir sayıyı farklı bir tabana çevirirken, sayının [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bu yazının amacı, özellikle veri güvenliği konusunda, çarpanlara ayırmaya dayanan zorluk üzerine inşa edilmiş olan şifreleme algoritmalarına bir saldırı için kullanılan ikinci derecenden kalbur (quadratic sieve) konusunu açıklamaktır. Sistem kabaca bir sayıyı çarpanlarına ayırır. Bu ayırma işlemi aşağıdaki adımlardan oluşur. Öncelikle elimizde, asal çarpanlarına ayırmak istediğimiz, bir asal olmayan sayı [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bu yazının amacı, bir çarpanlara ayırma yöntemi olan oransal eleği anlatmaktır. Bu yöntem, veri güvenliğinde çarpanların dayandığı matematiksel zorluk üzerine kurulu olan algoritmalara saldırı için kullanılır. Örneğin RSA. Algoritmanın çalışmasını anlatarak başlayalım: Öncelikle elimizde, asal çarpanlarına ayırmak istediğimiz, bir asal olmayan sayı (bileşik sayı, composite number) bulunduğunu düşünelim. Bu sayıya [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Özellikle sayılar teorisinde (number theory) önemli bir yer tutan, kafes çözümlemelerde (lattice based solutions) birisidir. Bilgisayar bilimlerinde, özellikle veri güvenliği konusunda, şifreleme algoritmalarına saldırı için kullanılmaktadır. Problem basitçe belirli bir üst sınıra kadar olan asal sayıları bulmayı hedefler (örneğin 30′a kadar olan asal sayıları bulmak istiyor olalım). Bu problemin çözümü [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Sayılar teorisinde (number theory), herhangi bir tam sayının karesi (örneğin x diyelim), verilen bir modüloda (örneğin n diyelim), bir mükemmel sayıya (perfect number) denk ise (örneğin q diyelim), bu x sayısına modulo n’de ikinci dereceden tortu (veya rezidü ) ismi verilir. x2 ≡ q (mod n) Kalan değerin mükemmel sayı [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Steven Pohlig ve Marin Hellman tarafından geliştirilen, ayrık logaritma probleminin (discrete logarithm) çözümü için bir alternatif sunan algoritmadır. Algoritma basitçe aşağıdaki denklemde bulunan x değerine bir çözüm arar: e ≡ gx (mod p) Bu durum tam olarak da ayrık logaritmanın tanımıdır ve yukarıdaki denklem, aşağıdaki hale dönüştürülebilir: x ≡ logg [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bir üçgen teşkil eden noktaların sayılarından oluşan seridir. Üçgensel sayılar olarak da isimlendirilir. Aşağıdaki şekilde örnek olarak üçgenler verilmiştir: Yukarıdaki örnek şekillerde görüldüğü üzere, eş kenar üçgen elde edilebilen nokta sayıları verilmiştir. Yukarıdaki sayı serisi aşağıdaki şekilde yazılabilir: 1,3,6,10 … Bu serideki her sayı, serinin kaçıncı elemanı ise, o elemanlık [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bir dairenin verilen doğru sayısıyla kaç farklı parçaya bölünebileceğini veren sayı serisidir. 1, 2, 4, 7, 11 şeklindeki sayılara, merkezi poligon sayıları ismi verilir. Bu sayılar, verilen doğru sayısına göre, bir daireyi kaç farklı şekle böldüğünü gösterir. Örneğin yukarıdaki sayı serisini eksi olmayan tam sayılar ile birebir eşleştirirsek 0 1 [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Robert Floyd tarafından tasarlanan bir sayı üçgenidir. Üçgen, her satırda, o satır kadar elemandan oluşan ve ardışık sayma sayılarının satırlara dağıtılması ile şekillenen, sağa yaslı bir dik üçgen olarak tanımlanabilir: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Yukarıdaki şekilde üçgenin ilk 5 [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimlerinde özellikle veri güvenliği konusunda kullanılan ayrık logaritma probleminin (discrete logarithm) çözümü için geliştirilmiş algoritmalardan birisidir. Literatürde algoritmayı bulan kişi olan Daniel Shank’a ithafen Shank’s algorithm olarak geçer. Algoritma basitçe, denklemine çözüm arar. Bu denklemde p bir asal sayı olmak üzere, denklemin çözümünün en azından pozitif tam sayı çözümlerini [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Bilgisayar bilimlerinde özellikle şifreleme sistemlerinde kullanılan ve ayrık matematik altında incelenen ayrık logaritma (discrete logarithm) problemini çözmek için geliştirilen bir yöntemdir. İsmi basitçe büyük ve küçük adımlardan esinlenerek konulmuştur. Ayrık logaritma alınırken, en klasik ve etkili yöntem bütün üslerin denenmesidir. Örneğin bir radyoda kanal ararken, önce hızlı çevirerek arama yapılır [...]

Yazan : Yrd. Doç. Dr. Şadi Evren ŞEKER Bu yazının amacı, eğitimimiz sırasında sürekli olarak okuduğumuz bir teori olan tertip teorisi (sıralama teorisi , order theory) konusunda bulunan kavramları (preorder, postorder gibi) açıklamaktır. Osmanlıda bu konuya nazariyatül tertip ismi verilmektedir. Nazariyatül tertip, bilgisayar bilimleri de dahil olmak üzere pek çok matematiksel problemin çözümünde kullanılmaktadır. Örneğin [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Kuantum hesaplamasının gelişmesi ile birlikte, kubit (qubit) kavramını göstermek için bir notasyona ihtiyaç duyulmuştur. Bu ihtiyaç Dirac tarafından geliştirilen bir gösterimle karşılanabilmektedir. Bazı kaynaklarda bra-ket olarak da geçer. Bra-ket gösterimi < | > şeklinde sembolize edilebilir. Buradaki bra kısmı <| olurken ket kısmı |> olmuş olur. Yani İngilizcedeki parantez anlamına [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Çok işlemcili ortamlarda, paralel çalışma sonucunda elde edilebilecek azami kazancı tahmin etmek için kullanılır. Gene Amdahl tarafından geliştirilen bu kurala göre paralel çalışma sonucunda zaman kazanımı formüllenmiştir. Basit bir örnekle, 100 saatlik çalışmanın %20′lik kısmı paralel hale getirilebiliyorsa, %80′lik kısım normal çalışacak bu durumda, algoritma en iyi paraleleştirmeye bile tabi [...]

Yazan : Şadi Evren ŞEKER Esas olarak istatistik biliminin bir skorlama kavramı olan ve literatürde, f1 skorlama, f-skorlama, f-ölçümü (f-measure) olarak geçen kavram, bilgisayar bilimlerinde özellikle veri çıkarımı (information extraction) ve veri getirimi (information retrieval) konularında kullanılmaktadır. Bilgi çıkarımı konusunda, kesinlik (precision) ve hassasiyet (recall, yakalama oranı) kavramları üzerinden hesaplanır. Buradaki kesinlik kavramı genelde p [...]